Atividade Diversificada de Matemática

29/07 – Atividade Diversificada de Matemática

Razão, Proporção, Porcentagem e Escala

Conteúdos muito comum no Enem e em todos os vestibulares, não só nas questões de matemática e física, mas também nas de geografia, química e biologia.

Razão – A razão entre dois números é simplesmente o quociente entre eles. 

            Por exemplo, queremos saber a razão entre o número de meninos e meninas em uma sala de aula. Se há 12 meninos e 18 meninas, então a razão entre eles é 12/18. Simplificando esta fração por 6, encontramos 2/3, ou seja, para cada 2 meninos há três meninas

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    Questão do ENEM: Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas

A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é

a) 17
    70

b) 17
    53

c) 53
    70

d) 53
    17

e) 70
   17

A razão é dada pela parte de um todo. A parte são as 17 poltronas e o todo são as 70 poltronas. Logo a razão será 17

                              70

Proporção  – Proporção é a igualdade entre duas razões (equivalências entre razões). Ou seja, se dissermos que as razões são iguais, é o mesmo que dizer que elas formam uma proporção.

     Por exemplo, qual o valor de x na proporção abaixo?

3 . 12 = x
x = 36

     Questão do ENEM: Uma máquina copiadora que, trabalhando sem interrupção, fazia 90 fotocópias por minuto, foi substituída por uma nova com 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha de fazer o mesmo número de cópias que a antiga, em uma hora de trabalho ininterrupto, fazia. O tempo mínimo, em minutos, que essa nova máquina gastará para realizar o trabalho é igual a:

a) 25             b) 30             c) 35             d) 40            e) 50

Solução: Se a nova máquina é 50% mais veloz, ela fará 90 + 50% de 90 cópias por minuto. como 50% de 90 = 45, ela fará 90 + 45 = 135 cópias por minuto. 

A máquina antiga, em uma hora (60 minutos), fazia 90 x 60 = 5400 cópias.

Regra de três: cópias tempo (min)

Cópias                       Tempo mínimo

135      ——————      1

5400  ———————     t

135t = 5400, ou seja, t = 5400/135 = 40 minutos

Porcentagem – é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor, ou seja, O cálculo percentual nada mais é que a multiplicação de um valor qualquer pelo percentual desejado. 

     Por exemplo, Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

    Questão do ENEM: Uma enquete, realizada em março de 2010, perguntava aos internautas se eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento global. Eram 3 as alternativas possíveis e 279 internautas responderam à enquete, como mostra o gráfico.

 Analisando os dados do gráfico, quantos internautas responderam ‘NÃO’ à enquete?

a) A Menos de 23.

b) Mais de 23 e menos de 25.

c) Mais de 50 e menos de 75.

d) Mais de 100 e menos de 190.

e) Mais de 200.

Solução:

279 = 100%

X          25%

100. X = 25 . 279

X = 6975 /100 = 69,75 

Ou seja, por volta de 70 pessoas responderam ‘Não’... alternativa c

Escalas – Quando se constrói uma escala, deve-se considerar o tamanho real do que você quer representar e também o tamanho da figura que o representará. Estes tamanhos devem estar na mesma unidade de medida. 

    Por exemplo, uma casa que possui um comprimento de 20 metros deve ser representada em um desenho de no máximo 20 cm. Vemos que as unidades de medida não são as mesmas, portanto, vamos ter que transformar o metro em cm, pois é nesta unidade que representaremos o desenho, 20 metros = 2000 centímetros.

A escala é simplesmente a razão entre o tamanho do desenho e o tamanho real, assim, para o nosso exemplo:

 Simplificando por 20 o numerador e o denominador e também a unidade de medida, encontramos a escala:

Significa que cada centímetro no desenho representa 100 centímetros no real.

Questão do ENEM: Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades,

A e B, era 8 cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de

a) 1 : 250.

b) 1 : 2 500.

c) 1 : 25 000.

d) 1 : 250 000.

e) 1 : 25 000 000.

Primeiro precisa converter 2000 km em cm.

2.000 Km = 200.000.000 cm

Dividindo ambos os valores da razão por 8, temos:

8200 000 000= 125 000 000

Exercícios para serem realizados no caderno

1) No intuito de reduzir o consumo de energia elétrica mensal das residências, o governo baixou uma medida provisória decretando que todos reduzam o consumo de energia em até 15%. De acordo com a medida provisória, uma residência com consumo médio de 652 quilowatts–hora mensais, terá que reduzir o consumo em quantos quilowatts–hora mensal?

2) Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14 m3de concreto. Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto trazido pela betoneira?

a)1,75            b)2,00             c)2,33            d)4,00            e)8,00

3) Considerando que a distância real entre duas cidades é de 120km e que a sua distância gráfica, num mapa, é de 6cm, podemos afirmar que esse mapa foi projetado na escala:

a) 1: 1.200.000        b) 1: 2.000.000        c) 1: 12.000.000    d) 1: 20.000.000